Problema del mes de gener de 2026: 2n d'ESO

Quants parells ordenats d’enters positius $(b,c)$ existeixen tals que tant $x^2+bx+c=0$ com $x^2+cx+b=0$ no tenen solucions reals i distintes?

Recorda que les solucions de l'equació $x^2+bx+c=0$ són definides per la fórmula: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$$ Si $b^2-4c<0$, no hi ha cap solució real, i si $b^2-4c=0$, no hi ha solucions distintes.
Com hem vist a la pista 1, només hi haurà solucions distintes si: $$b^2-4c\le 0\quad\implies\quad b^2\le 4c$$ Per a la segona equació, ens queda la desigualtat equivalent: $$c^2\le 4b$$ Busca quins parells enters compleixen les dues desigualtats. Per exemple, $(1,2)$ és un d'ells.

Perquè una quadràtica $x^2+bx+c=0$ tingui dues solucions reals i distintes cal que el seu discriminant sigui positiu. Per tant, la condició “no té solucions reals i distintes” equival a demanar $D\le 0$. Així, per a $x^2+bx+c=0$ tenim $D_1=b^2-4c\le 0$, és a dir, $b^2\le 4c$, i per a $x^2+cx+b=0$ tenim $D_2=c^2-4b\le 0$, és a dir, $c^2\le 4b$.

De $c^2\le 4b$ obtenim $c\le 2\sqrt{b}$. Substituint a l’altra desigualtat, $b^2\le 4c\le 4\cdot 2\sqrt{b}=8\sqrt{b}$, i per tant $b^{3/2}\le 8$, cosa que implica $b\le 4$. Per simetria, també $c\le 4$. Així doncs, només cal provar $b,c\in{1,2,3,4}$.

Ara enumerem per a cada $b$ els $c$ possibles que compleixen simultàniament $b^2\le 4c$ i $c^2\le 4b$:

Si $b=1$: $c^2\le 4 \Rightarrow c\in{1,2}$ (i $1^2\le 4c$ sempre per $c\ge 1$).

Si $b=2$: $c^2\le 8 \Rightarrow c\in{1,2}$ (i $4\le 4c$ per $c\ge 1$).

Si $b=3$: $9\le 4c \Rightarrow c\ge 3$ i $c^2\le 12 \Rightarrow c\le 3$, així que $c=3$.

Si $b=4$: $16\le 4c \Rightarrow c\ge 4$ i $c^2\le 16 \Rightarrow c\le 4$, així que $c=4$.

Per tant, els parells ordenats són $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)$, en total $\boxed{6}$ parells.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
2n d'ESO  marc.bertran 08/01/2026
2n d'ESO  leonardogi... 09/01/2026
2n d'ESO  gabibvv 09/01/2026
2n d'ESO  OriolBlanch 09/01/2026
2n d'ESO  Iria_Moreno 09/01/2026
2n d'ESO  Yago 09/01/2026
2n d'ESO  Núria.Rome... 09/01/2026
2n d'ESO  JAN33 10/01/2026
2n d'ESO  juuliia_maja 10/01/2026
2n d'ESO  jancabe300... 11/01/2026
2n d'ESO  JordiLlibre 15/01/2026
2n d'ESO  Axla6 15/01/2026
1r d'ESO  Berta 17/01/2026
2n d'ESO  Walid 18/01/2026
2n d'ESO  Aisling_Nadal 19/01/2026
2n d'ESO  lil_lassana 20/01/2026
2n d'ESO  Outman 21/01/2026
2n d'ESO  markmulenko20 21/01/2026
2n d'ESO  kevingalla... 21/01/2026
2n d'ESO  iraatiib 21/01/2026
2n d'ESO  Zihan_hoja 23/01/2026
2n d'ESO  guillemdav... 25/01/2026
2n d'ESO  Eduardo_Ba... 26/01/2026
2n d'ESO  Lia12Lia12 29/01/2026
2n d'ESO  Jansan 31/01/2026
1r d'ESO  LaraibIqba... 31/01/2026
2n d'ESO  Abrilparés... 31/01/2026
2n d'ESO  ÀrianShuli 31/01/2026
1r d'ESO  elbruixot 01/01/2026
2n d'ESO  MarwaSemmane0 01/01/2026
2n d'ESO  Arseni 09/01/2026
2n d'ESO  guillem_co... 09/01/2026
2n d'ESO  Xènia012 25/01/2026
2n d'ESO  Manal 27/01/2026
1r d'ESO  NuriaOlaiz... 04/01/2026
2n d'ESO  aina.navar... 13/01/2026
2n d'ESO  lukasito21pro 22/01/2026
2n d'ESO  GuiuT 30/01/2026

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
3r d'ESO  Naia_Azañedo 01/01/2026
4t d'ESO  Starpot 01/01/2026
1r de Batxillerat  Frogrammer 01/01/2026
1r de Batxillerat  OG_JAP 02/01/2026
3r d'ESO  c.jesuryop 11/01/2026
Curs indeterminat  PolPumarola 15/01/2026
Curs indeterminat  RocGil 15/01/2026
Professor/a  MarcosAlonso 18/01/2026
3r d'ESO  TomeuAndreu 18/01/2026
2n de Batxillerat  RiuEgipte 19/01/2026
Curs indeterminat  siena 21/01/2026
Curs indeterminat  Aynitaaa12 21/01/2026
1r de Batxillerat  OGWHH 25/01/2026
2n de Batxillerat  lluc.galindo 27/01/2026
2n de Batxillerat  MCuadros 27/01/2026
2n de Batxillerat  eva.pascual 31/01/2026
Professor/a  ainaodonia 31/01/2026
2n de Batxillerat  Omar_Bakkouh 31/01/2026
Curs indeterminat  OGDSS 01/01/2026
Professor/a  arakelov 01/01/2026
Professor/a  PACOVES 04/01/2026
Professor/a  Enricllp 15/01/2026
2n de Batxillerat  Blaze 25/01/2026
Professor/a  tmillan 08/01/2026
Curs indeterminat  risto_lopez 27/01/2026
Curs indeterminat  Anton 05/01/2026
Curs indeterminat  zencouder_ 11/01/2026