Recorda que les solucions de l'equació $x^2+bx+c=0$ són definides per la fórmula: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$$ Si $b^2-4c<0$, no hi ha cap solució real, i si $b^2-4c=0$, no hi ha solucions distintes.

Com hem vist a la pista 1, només hi haurà solucions distintes si: $$b^2-4c\le 0\quad\implies\quad b^2\le 4c$$ Per a la segona equació, ens queda la desigualtat equivalent: $$c^2\le 4b$$ Busca quins parells enters compleixen les dues desigualtats. Per exemple, $(1,2)$ és un d'ells.

Perquè una quadràtica $x^2+bx+c=0$ tingui dues solucions reals i distintes cal que el seu discriminant sigui positiu. Per tant, la condició “no té solucions reals i distintes” equival a demanar $D\le 0$. Així, per a $x^2+bx+c=0$ tenim $D_1=b^2-4c\le 0$, és a dir, $b^2\le 4c$, i per a $x^2+cx+b=0$ tenim $D_2=c^2-4b\le 0$, és a dir, $c^2\le 4b$.

De $c^2\le 4b$ obtenim $c\le 2\sqrt{b}$. Substituint a l’altra desigualtat, $b^2\le 4c\le 4\cdot 2\sqrt{b}=8\sqrt{b}$, i per tant $b^{3/2}\le 8$, cosa que implica $b\le 4$. Per simetria, també $c\le 4$. Així doncs, només cal provar $b,c\in{1,2,3,4}$.

Ara enumerem per a cada $b$ els $c$ possibles que compleixen simultàniament $b^2\le 4c$ i $c^2\le 4b$:

Si $b=1$: $c^2\le 4 \Rightarrow c\in{1,2}$ (i $1^2\le 4c$ sempre per $c\ge 1$).

Si $b=2$: $c^2\le 8 \Rightarrow c\in{1,2}$ (i $4\le 4c$ per $c\ge 1$).

Si $b=3$: $9\le 4c \Rightarrow c\ge 3$ i $c^2\le 12 \Rightarrow c\le 3$, així que $c=3$.

Si $b=4$: $16\le 4c \Rightarrow c\ge 4$ i $c^2\le 16 \Rightarrow c\le 4$, així que $c=4$.

Per tant, els parells ordenats són $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)$, en total $\boxed{6}$ parells.