Diguem $n$ al nombre d'alumnes què hi ha a classe, i sigui $E$ la suma de les edats de tots els alumnes. En particular, la suma de totes les edats serà $E+29$, comptant també els de la professora.

Aleshores, la condició que la mitjana de les edats dels alumnes és igual al nombre d'alumnes es tradueix en $$ \frac{E}{n} = n \quad \Longleftrightarrow \quad n^2 = E $$

D'altra banda, la condició que la mitjana de totes les edats és igual nombre de persones ($n$ alumnes més $1$ professora) es tradueix en $$ \frac{E+29}{n+1} = n+1 \quad \Longleftrightarrow \quad (n+1)^2=E+29$$

Què passa si restem les dues igualtats?

Diguem $n$ al nombre d'alumnes què hi ha a classe, i sigui $E$ la suma de les edats de tots els alumnes. En particular, la suma de totes les edats serà $E+29$, comptant també els de la professora.

Aleshores, la condició que la mitjana de les edats dels alumnes és igual al nombre d'alumnes es tradueix en $$ \frac{E}{n} = n \quad \Longleftrightarrow \quad n^2 = E $$

D'altra banda, la condició que la mitjana de totes les edats és igual nombre de persones ($n$ alumnes més $1$ professora) es tradueix en $$ \frac{E+29}{n+1} = n+1 \quad \Longleftrightarrow \quad (n+1)^2=E+29$$

Per tant, si restem les dues igualtats, tenim que $$ (n+1)^2 - n^2 = (E+29) - E \quad \Longleftrightarrow \quad 2n+1 = 29 \quad \Longleftrightarrow \quad n = 14$$

És a dir, que el nombre d'alumnes és $\boxed{n = 14}$.

En efecte, podem comprovar que $$ 14^2 = E \quad \implies \quad E+29 = 225 = 15^2 = (14+1)^2 $$