Problema del mes de desembre de 2019: 2n d'ESO

$M$ és un nombre màgic que ens ajuda a esbrinar si un nombre és divisible per $7$.

Donat un nombre natural qualsevol, fem la següent operació: multipliquem la seva xifra de les unitats per $M$, i sumem aquest producte al número original sense la xifra de les unitats.

Per exemple, donat un número de 4 xifres $abcd$, aquest nombre serà múltiple de $7$ si $abc+M\cdot d$ és múltiple de $7$.

Quin és el nombre $M$?

$M$ és un nombre menor que $10$.

Podem provar, per exemple, amb el nombre $161$, que és un múltiple de $7$, ja que $161=7\cdot23$.

Aplicant el mètode de l'enunciat, s'ha de complir que $16+1\cdot M$ sigui un múltiple de $7$.

Quins valors de $M$ compleixen això?

$M$ és el nombre $\boxed5$.

Aquesta prova de divisibilitat, tot i que ha sigut coneguda per matemàtics des del segle XIX, va ser redescoberta recentment pel nen nigerià basat al Regne Unit Chika Ofili, de només 12 anys!

La demostració de per què aquest mètode funciona és un poc avançada. Si definim el nombre a dividir com a $N=10x+y$, de manera que $y$ és la xifra de les unitats i $x$ és el nombre que queda d'eliminar la xifra de les unitats, podem arribar a veure que $N$ és divisible per $7$ si i només si $x+5y$ és múltiple de $7$: $$ \begin{array}{clcc} N \equiv 0 \mod 7 &\iff 0 \equiv 10x + y &\mod 7 \\ &\iff 5 \cdot 0 \equiv 5 \cdot (10x + y) &\mod 7 \\ &\iff 0 \equiv 50x + 5y &\mod 7 \\ &\iff 0 \equiv 49x + x + 5y &\mod 7 \\ &\iff 0 \equiv 7\cdot7x + x + 5y &\mod 7 \\ &\iff 0 \equiv x + 5y &\mod 7 \\ \end{array} $$

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
1r d'ESO  jaquerol 01/12/2019
2n d'ESO  Mario.Lina... 01/12/2019
2n d'ESO  jofre 03/12/2019
1r d'ESO  Mariorizea 03/12/2019
1r d'ESO  Guillemayet 03/12/2019
1r d'ESO  Pol14 03/12/2019
2n d'ESO  anana_17 03/12/2019
2n d'ESO  irenebn 10/12/2019
2n d'ESO  belenortega 10/12/2019
1r d'ESO  mclotet 13/12/2019
2n d'ESO  Marta09 26/12/2019
2n d'ESO  IGG 29/12/2019
2n d'ESO  jxma 01/12/2019
1r de Primària  marfer04 03/12/2019
2n d'ESO  victoras06 03/12/2019
2n d'ESO  ivs06 10/12/2019
2n d'ESO  Jogaal 01/12/2019
1r d'ESO  DiegoT 05/12/2019
2n d'ESO  mplana@ies... 10/12/2019
2n d'ESO  Alexandra.A 16/12/2019
2n d'ESO  roc 02/12/2019
1r d'ESO  laiieta_07 03/12/2019
2n d'ESO  alvarofr_06 03/12/2019
2n d'ESO  carlafalga... 11/12/2019
1r d'ESO  Guillem.C.M 31/12/2019

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Universitat  izanbf 01/12/2019
Professor/a  arakelov 01/12/2019
Professor/a  rsempere 01/12/2019
3r d'ESO  Msempere 01/12/2019
4t d'ESO  Nomarolbap 01/12/2019
2n de Batxillerat  PauCantos 01/12/2019
4t d'ESO  portega 01/12/2019
3r d'ESO  noamarti 01/12/2019
Professor/a  SoniaPC 01/12/2019
1r de Batxillerat  lorodane 01/12/2019
Professor/a  novembre 01/12/2019
Professor/a  tmillan 01/12/2019
Universitat  PepBorras 01/12/2019
Curs indeterminat  henar 03/12/2019
Curs indeterminat  claudia-balsa 03/12/2019
Professor/a  ras 03/12/2019
Professor/a  Sergi_bm 04/12/2019
Curs indeterminat  Anton 05/12/2019
Professor/a  Eva 09/12/2019
Professor/a  nou 09/12/2019
Professor/a  PACOVES 10/12/2019
3r d'ESO  ÒniaC_Moià 11/12/2019
Professor/a  montserrat... 24/12/2019
3r d'ESO  Ana.11.17 26/12/2019
Curs indeterminat  racus545 27/12/2019
3r d'ESO  asaperas 29/12/2019
Curs indeterminat  toniV 29/12/2019
Curs indeterminat  joanfrance... 30/12/2019
Curs indeterminat  ErikF 31/12/2019
Curs indeterminat  EricN 08/12/2019
Curs indeterminat  lidiaferna... 10/12/2019
Curs indeterminat  Racus555 27/12/2019
Professor/a  agarrido 01/12/2019
Curs indeterminat  rmates 02/12/2019
Curs indeterminat  erik 03/12/2019
Curs indeterminat  laiaestany 10/12/2019
Professor/a  Marta1876 15/12/2019
Curs indeterminat  JoanAn 30/12/2019
Curs indeterminat  mañas 03/12/2019