Problema del mes d'octubre de 2017: 2n d'ESO

Uns estudiants de 2n d'ESO elaboren un pla per furtar-li els diners al seu professor de matemàtiques. Li fan la següent proposta:

—Què et sembla si et donem el doble dels diners que tingues, i després tu ens dónes $54$ euros?

El professor accepta, i fan l'intercanvi.

—Vols que repetim el mateix tracte? —proposen els estudiants.

El professor accedeix de nou. Veient que el negoci funciona, els estudiants insisteixen.

—Fem el tracte un tercer cop?

—D'acord —respon el professor.

Els estudiants estan contents amb el botí, però llavors el professor contraataca amb un problema per tota la classe:

—M'han deixat amb exactament zero euros, podríeu dir-me quants diners tenia inicialment? I quan ho hàgeu resolt, em torneu els meus diners!

Atenció: la solució és un nombre enter. Hem anul·lat tots els enviaments de nombres amb decimals.

Si el professor té $x$ euros inicialment, els estudiants li'n donaran $2x$, i després li'n trauran $54$. Després del primer tracte, es queda amb: $$x \quad\rightarrow\quad x+2x-54=3x-54$$
Potser t'és útil pensar el problema des del final cap al principi. Si s'ha quedat amb $0$ euros, quants en tindria abans? I abans?...
Amb cada intercanvi, el professor passa de tindre $x$ euros a tindre'n $y$: $$x\quad\rightarrow\quad y=3x-54$$ Podem fer també el pas contrari. Si al final s'ha quedat amb $y$ euros, inicialment en tindria: $$x=\frac{y+54}{3}$$

Anomenem $y_0$ els diners que tenia inicialment, i $y_1, y_2,y_3$ els que té després de cada tracte.

Al final s'ha quedat amb $y_3=0$ euros, per tant, just abans en tenia: $$y_2=\frac{0+54}{3} = 18$$ Just abans, en tindria: $$y_1=\frac{18 + 54}{3} = \frac{72}3 = 24$$ Inicialment, en tindria: $$y_0=\frac{24 + 54}{3} = \frac{78}3 = 26$$ Per tant, el professor inicialment tenia $26$ euros.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
Primària  jaquerol 01/10/2017
2n d'ESO  Alexl 02/10/2017
2n d'ESO  Nareta347 03/10/2017
2n d'ESO  AlexNavarrov 03/10/2017
2n d'ESO  PolPiferrer 06/10/2017
2n d'ESO  Daniel_García 06/10/2017
2n d'ESO  Jordi3456 07/10/2017
1r d'ESO  asaperas 08/10/2017
2n d'ESO  enriccat 08/10/2017
2n d'ESO  MuFFiN 09/10/2017
2n d'ESO  noaporta22 09/10/2017
2n d'ESO  gridsc 09/10/2017
2n d'ESO  visca 10/10/2017
2n d'ESO  Goodjoan0307 14/10/2017
2n d'ESO  Gabisg04 15/10/2017
2n d'ESO  mmontull 19/10/2017
2n d'ESO  Pelli 28/10/2017
1r d'ESO  Gema 29/10/2017
1r d'ESO  CarlosBarr... 30/10/2017
1r d'ESO  J.P.B 30/10/2017
1r d'ESO  janpaga86 30/10/2017
1r d'ESO  Khadija 30/10/2017
2n d'ESO  Mgubianas 30/10/2017
2n d'ESO  sandra.pel... 30/10/2017
2n d'ESO  Penyeta 31/10/2017
2n d'ESO  lauramas6 03/10/2017
2n d'ESO  anubis 08/10/2017
2n d'ESO  Jamer7 09/10/2017
2n d'ESO  DavidVázquez 15/10/2017
2n d'ESO  Al3x15 18/10/2017
2n d'ESO  XaviVidal 29/10/2017
1r d'ESO  hagoulmine 30/10/2017
2n d'ESO  Pau54 12/10/2017
2n d'ESO  saulbraza 30/10/2017
2n d'ESO  Aleix 01/10/2017
1r d'ESO  polgm 07/10/2017
1r d'ESO  polrt 10/10/2017
2n d'ESO  Manel2017 08/10/2017
2n d'ESO  Angela04 12/10/2017
2n d'ESO  cristinama... 16/10/2017
1r d'ESO  maxep 18/10/2017
2n d'ESO  EvaMorant 25/10/2017
2n d'ESO  AndreaMonzo 25/10/2017
1r d'ESO  juju2005 27/10/2017
2n d'ESO  juan7 30/10/2017
2n d'ESO  hugomargalef 30/10/2017
2n d'ESO  SheilaJover 30/10/2017
2n d'ESO  MaxMalysh 31/10/2017

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
4t d'ESO  PauCantos 01/10/2017
Professor/a  Sergi_bm 02/10/2017
Professor/a  Marta1876 02/10/2017
2n d'ESO  Pauet37 02/10/2017
4t d'ESO  Diego123a73 03/10/2017
1r de Batxillerat  arnaupadres 03/10/2017
Professor/a  Xavi 04/10/2017
4t d'ESO  xusi10 04/10/2017
Universitat  adrianjch 04/10/2017
Professor/a  tmillan 05/10/2017
1r de Batxillerat  izanbf 05/10/2017
Professor/a  ras 07/10/2017
2n d'ESO  Kolmogorov 07/10/2017
Curs indeterminat  Nasar 07/10/2017
Universitat  auri213 07/10/2017
Professor/a  montserrat... 08/10/2017
Professor/a  Frederic 09/10/2017
Universitat  Euler 10/10/2017
Professor/a  Mcorb 11/10/2017
1r de Batxillerat  enriquervwtf 11/10/2017
3r d'ESO  carsan 18/10/2017
3r d'ESO  ROSASOLER 18/10/2017
Professor/a  jordimo 22/10/2017
Universitat  Al.Chronos 22/10/2017
4t d'ESO  Mijern 24/10/2017
Professor/a  rafel 25/10/2017
3r d'ESO  AnaPalomares 29/10/2017
2n d'ESO  Dj+figatell 29/10/2017
3r d'ESO  JosepLlorca 29/10/2017
3r d'ESO  Pedro1 30/10/2017
3r d'ESO  Daniel1711 30/10/2017
3r d'ESO  mireiamorant 30/10/2017
3r d'ESO  CarlesFaus 30/10/2017
3r d'ESO  Gerard.gre... 30/10/2017
Curs indeterminat  Narjis 30/10/2017
1r de Batxillerat  martijuanola 30/10/2017
3r d'ESO  MireiaJuan 30/10/2017
Universitat  Ponta 31/10/2017
1r de Batxillerat  Clàudiaa 04/10/2017
1r de Batxillerat  EnricGS 04/10/2017
Universitat  Mounircheriha 09/10/2017
1r de Batxillerat  marcmon 14/10/2017
Professor/a  bach22 14/10/2017
3r d'ESO  Chuki 30/10/2017
3r d'ESO  Nereaferrer 30/10/2017
Curs indeterminat  Alex 03/10/2017
Professor/a  Arantxa.Vidal 29/10/2017
1r de Batxillerat  gloris-1505 03/10/2017
3r d'ESO  HECTORGV 18/10/2017
Curs indeterminat  Chesca 29/10/2017
3r d'ESO  PepaFlores 29/10/2017
Curs indeterminat  AndreuBonet 29/10/2017
Professor/a  FredoBorras 30/10/2017
Curs indeterminat  pauiau 30/10/2017
3r d'ESO  OriolITEC1 30/10/2017
3r d'ESO  Tania 30/10/2017