Si cada dia dobla la mida, el penúltim dia tenia mida exactament la meitat de l'estany.

És dia, si el dia 20 cobria tot l'estany ple, el dia $\boxed{19}$ el cobria per la meitat.

La distància recorreguda cada dia forma una successió aritmètica, ja que cada dia es fan $20$ km menys que el dia anterior.

Les distàncies dels primers sis dies són:

$$ 200,\;180,\;160,\;140,\;120,\;100. $$

Per trobar la distància total recorreguda, podem sumar aquests valors:

$$ 200+180+160+140+120+100. $$

Agrupant els termes de manera convenient:

$$ (200+100)+(180+120)+(160+140) = 300+300+300 = 900. $$

Per tant, durant els sis primers dies recorren:

$$ \boxed{900\text{ km}}. $$

---

També es pot resoldre utilitzant la fórmula de la suma d'una progressió aritmètica. Denotem $a_n$ a l'$n$-èssim terme i $S_n$ a la suma dels $n$ primers termes. Aleshores, utilitzant la mateixa idea d'agrupar els termes per parelles, és fàcil veure que:

$$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}, $$

En aquest cas:

$$ n=6, \qquad a_1=200, \qquad a_6=100. $$

Substituint:

$$ S_6=\frac{6(200+100)}{2} =\frac{6\cdot300}{2} =3\cdot300 =900. $$

Obtenim el mateix resultat:

$$ \boxed{900\text{ km}}. $$

Per començar, observem què passa quan restem $1$ a una potència de $10$:

$$ 10^1-1=9 $$ $$ 10^2-1=99 $$ $$ 10^3-1=999 $$

En general,

$$ 10^n-1 $$

és un nombre format per $n$ xifres, totes elles iguals a $9$.

Per tant:

$$ 10^{10}-1=\underbrace{9999999999}_{10}, $$

un nombre format per deu nous.

La suma de les seves xifres és:

$$ 9+9+9+9+9+9+9+9+9+9 = 10\cdot 9 = 90. $$

Per tant, la suma de tots els dígits és:

$$ \boxed{90}. $$

Anomenem $x$ i $y$ les longituds dels costats del rectangle.

Sabem que el perímetre és $20\text{ m}$, de manera que:

$$ 2x+2y=20 \quad \implies \quad x+y=10. $$

També sabem que l'àrea és:

$$ xy=24. $$

Per tant, busquem dos nombres que sumin $10$ i que, alhora, tinguin producte $24$.

Podem provar algunes parelles:

• $1+9=10$, però $1\cdot9=9$.
• $2+8=10$, però $2\cdot8=16$.
• $3+7=10$, però $3\cdot7=21$.
• $4+6=10$ i $4\cdot6=24$.

Ara bé, per veure formalment que ${x,y}={6,4}$ és la única solució, hem de resoldre-ho algebraicament. Com que $y=10-x$, substituïm a l'expressió de l'àrea:

$$ x(10-x)=24. $$

Desenvolupant:

$$ x^2-10x+24=0 \quad \implies \quad (x-4)(x-6)=0. $$

Per tant:

$$ x=4 \qquad\text{o}\qquad x=6. $$

Arribem a la mateixa conclusió: el rectangle té costats de $4$ i $6$ metres, i el més llarg mesura

$$ \boxed{6\text{ m}}. $$

---

Una altra solució elegant per resoldre el sistema

$$\begin{cases} xy = 24 \\ x+y = 10 \end{cases}$$

és recordar que, per les relacions de Cardano-Viète, $x,y$ són les solucions de l'equació de segon grau en la variable $t$ donada per:

$$t^2 - (x+y) t + xy = 0.$$

D'on, substituint els valors coneguts de la suma i el producte de $x,y$, retrobem l'equació de segon grau a resoldre anterior.

En lloc de sumar tots els dígits un per un, observem una propietat molt útil dels múltiples de $9$. La suma de les xifres de qualsevol múltiple de $9$ és un múltiple de $9$.

Ara bé, en aquest cas encara podem dir més, i és que la suma dels dígits d'un nombre múltiple de $9$ de dues xifres és sempre $9$. En efecte, $$0+9=9+0=9, \quad 1+8=8+1=9, \quad 2+7=7+2=9, \quad 3+6=6+3=9, \quad 4+5=5+4=9$$

Per tant, només cal comptar quants múltiples de $9$ hi ha entre $9$ i $90$:

$$ 9,\;18,\;27,\;36,\;45,\;54,\;63,\;72,\;81,\;90. $$

i en són exactament $10$.

Llavors, la suma total és:

$$ 10\cdot 9=\boxed{90}. $$

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.