Entra o registra't per participar al Concurs virtual per reviure aquesta contrarellotge. Se t'aniran plantejant els problemes com el dia del concurs, i a més competiràs contra els participants d'aquell dia: veuràs com van marcant les respostes tal com ho van fer el durant del concurs.
Podràs repetir tants cops com vulgues, i el teu resultat només es farà públic si ho tries així.
Problema 1
3 punts
1 min
30 s
3 punts
•
1 min
30 s
En una fila de $2026$ persones, en Joan és el quart començant pel principi.
Quina posició ocupa començant pel final?
Si en Joan és el $4$t, vol dir que té $3$ persones al davant.
Per tant, i comptant-se també a ell, té $2026-3-1 = 2022$ persones al darrere.
Començant pel final, té $2022$ persones davant d’ell, així que ell és el $\boxed{2023\text{è}}$.
Problema 2
3 punts
1 min
30 s
3 punts
•
1 min
30 s
L'Aquil·les i la tortuga fan una cursa de $100\text{ m}$. L’Aquil·les corre a $10\text{ m/s}$, mentre que la tortuga es mou a $1\text{ m/s}$, però començant amb $81\text{ m}$ d’avantatge.
Quant triga Aquil·les a atrapar-la?
Per saber quan l'Aquil·les atraparà la tortuga, podem calcular la velocitat relativa entre tots dos, és a dir, a quina velocitat s'escurça la distància que els separa.
Com que l'Aquil·les avança a $10\text{ m/s}$ i la tortuga s'allunya a $1\text{ m/s}$, la velocitat a la qual Aquil·les retalla distàncis és exactament:
$$10 - 1 = 9\text{ m/s}$$Com que la distància inicial que els separa és de $81\text{ m}$, el temps $t$ que trigarà a recórrer aquest espai de separació a una velocitat relativa de $9\text{ m/s}$ és
$$t = \frac{d}{v} = \frac{81}{9} = 9 \text{ s}$$Per tant, l'Aquil·les trigarà exactament $\boxed{9 \text{ segons}}$ a atrapar la tortuga.
Problema 3
3 punts
1 min
30 s
3 punts
•
1 min
30 s
Si es compleix que $2^{x+1} + 2^x = 48$, quin és el valor de $x$?
Observem que els dos termes de l'esquerra tenen un factor comú $2^x$. Factoritzant tenim:
$$ 2^{x+1}+2^x = 2^x \cdot 2 + 2^x = 2^x(2+1). $$Per tant, l'equació es transforma en:
$$ 3\cdot 2^x=48 \quad \implies \quad 2^x=16. $$Alshores, prenent logaritme en base $2$ als dos costats:
$$ x = \log_2 16 = \boxed{4}. $$Podem comprovar la solució substituint-la a l'equació inicial:
$$ 2^{4+1}+2^4 = 2^5+2^4 = 32+16 = 48. $$
Problema 4
3 punts
1 min
30 s
3 punts
•
1 min
30 s
En una fàbrica de joguines, $5$ màquines idèntiques fabriquen $5$ peces en $5$ minuts. Seguint una recent expansió de la companyia, ara es disposaran de $100$ màquines del mateix tipus treballant al mateix ritme.
Quant temps trigaran a fabricar $100$ peces?
La informació inicial ens diu que:
- $5$ màquines fabriquen $5$ peces.
- Ho fan en $5$ minuts.
Això vol dir que, en aquests $5$ minuts, cada màquina fabrica exactament una peça.
Per tant, una sola màquina necessita $5$ minuts per fabricar una peça.
Si ara tenim $100$ màquines treballant simultàniament, cadascuna pot fabricar una peça en $5$ minuts.
Així, en $5$ minuts les $100$ màquines fabricaran $100$ peces. En altres parauls, el temps necessari perquè $100$ màquines fabriquin $100$ peces és:
$$ \boxed{5\text{ minuts}}. $$
Problema 5
3 punts
1 min
30 s
3 punts
•
1 min
30 s
En la figura de més a l'esquerra tenim la vista des de dalt d’un tetraedre amb les cares decorades (la base correspon a $*$).
En les figures de la dreta, tenim possibles vistes de les cares del tetraedre desplegades. Quina d'aquestes pot correspondre realment al tetraedre?
L'observació clau és notar que, veient el tetraedre amb la vista superior de la figura original, tenim les cares $\cdot$, $\cdot\cdot$ i $\cdot\cdot\cdot$ en sentit horari.
Per tant, ara ens fixem en les figures mostrant les cares desplegades, concretament en el vèrtex que queda oposat a la cara amb $*$. Reseguint aquest vèrtex en sentit horari, volem trobar el mateix ordre $\cdot$, $\cdot\cdot$ i $\cdot\cdot\cdot$.
Provant per a les quatre configuracions donades, veiem que la única que correspon al tetraedre donat és la $\boxed{1}$.
Problema 6
4 punts
3 min
4 punts
•
3 min
En una bossa hi ha boles de tres colors. Un terç de les boles són blaves, un quart són vermelles i les $10$ restants són verdes.
Quantes boles hi ha en total a la bossa?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 7
4 punts
3 min
4 punts
•
3 min
Diem que un pla és de simetria si, en taller el cub per aquest pla, les dues meitats obtingudes són imatges especulars l'una de l'altra.
Quants plans de simetria diferents té un cub?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 8
4 punts
3 min
4 punts
•
3 min
Escollim alguns nombres diferents del conjunt
$$ \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}. $$Quin és el nombre mínim $N$ amb la propietat que, independentment de quins $N$ nombres triem, sempre hi haurà almenys una parella de nombres que sumi exactament $11$?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 9
4 punts
3 min
4 punts
•
3 min
Quantes diagonals té un icosàgon, és a dir, un polígon de vint costats?
Per exemple, en la figura hem dibuixat un parell de diagonals.
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 10
4 punts
3 min
4 punts
•
3 min
Els nombres il·luminats són nombres molt especials, ja que han de complir les següents propietats:
- Tenen exactament quatre xifres.
- Es poden escriure només usant dígits: $1$, $2$, $3$ o $4$.
- Tenen, com a mínim, una xifra repetida.
Quants nombres il·luminats existeixen?
Nota: Per exemple, el $1123$ o el $4434$ són il·luminats.
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 11
5 punts
4 min
30 s
5 punts
•
4 min
30 s
Nota: Els dòminos no poden solapar-se ni sortir del tauler o cobrir les caselles descartades.
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 12
5 punts
4 min
30 s
5 punts
•
4 min
30 s
Imaginem un octaedre regular (un poliedre amb vuit cares triangulars equilàteres). Considerem una de les seves cares i tallem l'octaedre amb un pla paral·lel a aquesta cara que passa pels punts mitjans de les arestes que surten dels seus tres vèrtexs.
Quina forma té la secció plana obtinguda?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 13
5 punts
4 min
30 s
5 punts
•
4 min
30 s
Un matemàtic està factoritzant el nombre gegantí
$$ 50! = 50\cdot49\cdot48\cdots2\cdot1. $$Vol saber quantes vegades apareix el factor $3$ en aquesta factorització. En altres paraules, quin és el màxim exponent $k$ tal que
$$ 3^k $$divideix exactament $50!$?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 14
5 punts
4 min
30 s
5 punts
•
4 min
30 s
En Teo està visitant Egipte i decideix explorar una piràmide molt peculiar. La base és un quadrat de costat $100$ m i les quatre cares laterals són triangles equilàters de costat $100$ m.
Començant en un vèrtex de la base, vol arribar al vèrtex oposat de la base caminant sempre per la superfície de la piràmide (sense travessar-ne l'interior).
Quina és la distància mínima que haurà de recórrer?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 15
5 punts
4 min
30 s
5 punts
•
4 min
30 s
Quin és el valor de la següent suma?
$$ S = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} $$Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Concurs 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.
| # | # | Usuari | Punts | Respostes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | EParedes | EParedes | 89,0 | |||||||
| 2. | Kote | Kote | 83,0 | |||||||
| 3. | Cosinus... | CosinusExpansionEnjoyer12 | 82,0 | |||||||
| 4. | Frogrammer | Frogrammer | 80,0 | |||||||
| 5. | danidelrio | danidelrio | 62,5 | |||||||
| 5. | FDLF | FDLF | 62,5 | ◌ | ||||||
| 7. | NinjaRu... | NinjaRubicio393 | 60,25 | |||||||
| 8. | Xavier_... | Xavier_Martí_Rosell | 57,25 | |||||||
| 9. | Mariona_G | Mariona_G | 44,25 | ◌ | ||||||
| 10. | PauMR | PauMR | 44,0 | ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ |
Concurs obert
Usuaris que han superat 2n de Batxillerat, professors, etc.
| # | # | Usuari | Punts | Respostes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|
Concurs virtual
Usuaris que han participat al Concurs virtual, un cop acabada la prova.
| # | # | Usuari | Punts | Respostes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|
Llegenda
→ Resposta correcta
→ Resposta correcta més ràpida de la taula (+1 punt)
→ Resposta incorrecta