Recordem que cada nombre enter té una descomposició única en factors primers.

A la dreta, tenim $10^k = 2^k \cdot 5^k$. D’altra banda, a l’esquerra podem agrupar els factors com $$ 5\cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5\cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5^5 = 2^6 \cdot 5^6 $$

Aleshores, de la igualtat en la descomposició, tenim necessàriament que $\boxed{k=6}$.

D’entrada, hem de comptar els múltiples de $63$ que estiguin entre $500$ i $700$ que no siguin parells.

Podem ubicar fàcilment un múltiple de $63$ en aquest rang: el $630=63\cdot 10$. Aquest no és senar, així que no comptarà per la suma que ens interessa, però ens serveix per trobar els altres múltiples de $63$ senars en el rang $500$ i $700$.

Partint del $630$, restant $63$ cap avall, trobem el $567$ i després el $504$, i el següent ja està per sota de $500$ així que no ens interessa. D’aquests dos que hem trobat, només ens quedarem amb el $567$ perquè volem nombres senars.

Ara cap amunt, partint del $630$ i sumant $63$, trobem el $693$, i el següent ja seria per sobre de $700$ així que no ens interessa.

Tot plegat, els números que volíem trobar són el $567$ i el $693$, i la seva suma és $\boxed{1260}$.

Primer de tot, recordem que els reis ataquen a les $8$ caselles adjacents a la que es troben. Vegem que podem col·locar $4$ reis, però que $5$ ja no.

La idea per a veure les dues qüestions que cal demostrar és la mateixa: subdividir el tauler en blocs de $2\times 2$, que en són exactament $4$.

Si col·loquem un rei en la cantonada superior dreta de cada un d’aquests blocs, aconseguim posar $4$ reis que no s’ataquen entre ells.

Encara més, suposem que poguéssim posar $5$ reis. Pel principi del colomar, veiem que hi haurà un d’aquests blocs $2\times2$ amb dos reis. Però això és impossible, ja que aleshores aquests dos s’estarien atacant entre ells.

Tot plegat, la resposta és $\boxed{4}$.

Volem resoldre el següent sistema $$ \begin{cases} a+b = 7 \\ a^2 + b^2 = 29 \end{cases}$$

La manera més elegant de resoldre'l és elevar al quadrat la primera equació, i al resultat substituir-hi la segona $$ (a+b)^2 = 49 \quad \implies \quad a^2 + b^2 + 2ab = 49 \quad \implies \quad 29 + 2ab = 49 \quad \implies 2ab = 20$$

Aleshores, el sistema resulta en $$ \begin{cases} ab = 10 \\ a+b = 7 \end{cases}$$

Provant valors, podem veure que $(a,b)=(2,5)$ és una solució. Tanmateix, anem a justificar bé com resoldre aquest sistema.

Solució 1

Una possibilitat és intentar trobar quant val $a-b$. Per això, primer trobem el seu quadrat, ja que $$(a-b)^2 = a^2 + b^2 -2ab = 29 - 20 = 9 \quad \implies \quad a-b = \pm 3 $$

Encara més, com que estem assumint que $a \leq b$, tenim que $a-b \leq 0$ és negatiu, per tant, concloem que $a-b = -3$. Tot plegat, combinant les equacions $$ \begin{cases} a-b = -3 \\ a+b = 7 \end{cases} \quad \implies \quad \begin{cases} 2a = 4 \\ 2b = 10 \end{cases} $$

És a dir, $\boxed{(a,b) = (2,5)}$.

Solució 2

Una altra manera de resoldre l'últim sistema, inspirada per les relacions de Cardano-Viète, és considerar el següent polinomi de grau $2$, que té arrels $a$, $b$ $$ (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab = x^2 - 7x + 10 $$

Per tant, resolent aquest polinomi amb la fórmula per a equacions de segon grau $$ x = \frac{7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 10 }}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} = \begin{cases} 2 \\ 5 \end{cases}$$

És a dir, les arrels del polinomi, i per tant els valors que cerquem, són $\boxed{(a,b) = (2, 5)}$.

Primer de tot, considerem la descomposició en factors primers $2025 = 45^2 = 3^4 \cdot 5^2$. També, recordem que per tal que un nombre sigui una potència quarta cal que tots els exponents en la seva descomposició en factors primers siguin múltiples de $4$.

Aleshores, perquè $2025n$ sigui potència quarta, ens cal com a mínim que $n$ tingui un factor $5^2$.

Prenent el mínim possible $n = 5^2 = 25$, veiem que $2025n = 3^4 \cdot 5^4$, però també $\frac{2025}{n} = 3^4$, així que la resposta és $\boxed{25}$.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.